湍流界的九阴真经：k41理论 | 流体江湖风云录·柯老邪篇（贰章）-凯时尊龙官网

►安德雷·柯尔莫哥洛夫（1903-1987）。来源：aprender-mat.info

作者 | 潘玉林（麻省理工学院机械系博士生）

责编 | 吕浩然

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上回说道：而在其剑指湍流领域的过程中，一座雄壮的楼阁也随之拔地而起。

如果说1905年是爱因斯坦奇迹年，那么1941年则称得上湍流史上的柯老邪奇迹年。这一年，柯老邪连续发表三篇论文，一举奠定了其流体力学界一代宗师的地位。这三篇文章对于湍流物理规律的阐述，在江湖获封“k41理论”之美誉。它们是柯老邪与其弟子数年之功的总结，也是湍流研究史上人类所取得的最辉煌的成就。

在具体介绍k41理论之前，我们需要先引入“尺度”这一概念。尺度者，大小、长短之衡量也，“鲲之大，不知其几千里也”，鲲的空间尺度为几千里；“朝菌不知晦朔，蟪蛄不知春秋”，朝菌与蟪蛄的时间尺度，则分别小于一月和一年。

而湍流，是一个具有多尺度结构的系统。从流场中涡旋的角度而论，湍流可看做是很多不同尺度涡结构的相互作用。以大气湍流为例，其涡结构尺度范围可从几毫米延伸至几千米，可谓“大涡可通天级，小涡仅在毫厘”。

►湍流射流中的涡旋结构

k41理论认为，无论一个湍流系统如何复杂，其涡旋结构都有着相似性，即涡的动能总是由外力作用施加给流场，并注入最大尺度（假设为l）的涡结构。然后，大尺度涡结构逐次瓦解并产生小型涡旋，同时也将动能由大尺度逐级传向小尺度结构，并依此类推。但此过程并不会无限进行下去，当涡结构尺度足够小（假设为η）时，流体粘性将占据主导地位，动能转化为内能在该尺度上耗散掉，继而不会继续传向更小尺度的涡结构。这个过程，被称为能级串过程。

►湍流射流中的涡旋结构

►k41之能级串过程

我们试举一例将其具体化。假设有一个长度尺度为l的水桶，我们手持搅拌器在同样的尺度l上对桶里的水进行搅拌。不难想象，桶中会出现尺度为l的最大涡旋结构。

随着时间的推移，桶中的涡结构尺度层次会变得更为丰富，不断有更小的涡产生。此时，系统将达到一种动态能量守衡：动能由搅拌器在大尺度l上施加给系统，系统中的动能由尺度为l的大涡一级级传向小涡结构，最终由于粘性耗散在最小尺度的涡结构里。整个系统力作而兴，力息而竭。如果我们撤去搅拌器的外力，桶中的涡旋结构将会慢慢衰减，直至被粘性消耗殆尽。

►在水桶中搅拌并产生涡旋示意图，图片来源：physics today, 2006

正所谓，大涡生小涡，小涡生小小涡，而子子孙孙有穷尽也。

如果柯老邪的发现仅仅是这样一个有着些许诗意的湍流物理模型，k41理论的江湖地位难免会大打折扣。事实上，k41理论之所以成为湍流界的至尊，是由于其在物理模型之上引入了对于湍流的定量描述。而数学，是描述自然规律唯一有效的语言。

由于人类在纳维-斯托克斯方程面前的无力，引入数学描述并非易事。为此，柯老邪以其深刻的物理直觉引入了一个大胆的假设，将整个问题抽丝剥茧，直至其本质完全暴露，再辅以初等数学的量纲分析便得到了描述湍流场涡结构动能的最有效的一个公式：

s₂(l)=cε^2/3l^2/3 

式中，l为湍流场中两点间距离，ε为由大尺度向小尺度的动能传递率，亦等同于小尺度动能耗散率，c为无量纲的柯尔莫哥洛夫常数。s₂(l) 为二阶结构函数，其定义为s₂(l)=〈δu(l)²〉，即湍流场中相距为l两点间速度差δu(l)平方的（空间或时间）平均值。此结构函数乃柯老邪独创之统计量，它度量了尺度小于等于l的所有涡结构之动能。

此公式为k41理论的最核心部分，被称为“柯尔莫哥洛夫之2/3标度律”。正如许多伟大的物理公式一样，柯老邪的2/3律形式优美，结构简单。而在这令人为之倾倒的美感背后，却隐藏着非凡的物理含义。

原来，湍流场中不同尺度l上的涡结构动能并非任意分布，而是要服从l^2/3的幂函数形式。因此，涡动能从大尺度到小尺度以幂函数形式衰减。而由于柯老邪引入的假设，2/3律只在一定尺度范围η<

所谓实践是检验真理的唯一标准，在柯老邪如此天马行空的物理假设下，k41理论的正确与否似乎只能通过物理实验来检验。这也的确成为了k41理论问世之后各学派争相实验的主题。这些实验尺度大小有别，流动形态各异，而万变中的不变却是所测得的湍流2/3标度律 – 柯老邪公式中 2/3这个数字被无数实验所证实。其中最惊人的当属卡尔·吉布森（carl gibson）教授1991年所测得的星系湍流，其结构函数在近十个数量级的尺度范围内与湍流标度律相符。柯老邪一念之力，竟至于斯。

为了更清晰地展示柯老邪鬼斧神工般的k41理论，我们试以“武林交通部”系统（如下图）与湍流场做一类比。某日，武林交通部高层人士通过了“二十三省江湖人士不得闯黄灯”的江湖禁令，并将其下达至省交通厅；各省交通厅将此禁令分解为“各市江湖人士不得闯黄灯”并继续向下级传递；依此类推，这条禁令又经过市，区两级交通局分解并最终传达至各地江湖人士。在此例中，武林交通部是系统中最大尺度l的涡结构，省市区各级交通单位是稍小尺度的涡结构，而各地江湖人士是最小尺度η的涡结构。江湖禁令的传递则类比湍流场中的动能传递。

为加强宣传力度，武林交通部三令五申，不厌其烦地将此江湖禁令传达给下级机构。而随着各级交通部门的传递，这条江湖禁令也三番五次地传到各地江湖人士耳中。江湖人士们不胜其扰，只得听而不闻，任消息随风消散。在这段描述中，武林交通部的三令五申相当于大尺度涡为湍流系统提供的源源不断的动能，而消息的随风消散则相当于小尺度涡动能的粘性耗散。

在任意交通部门中，其所接受和传出的信息量相等。例如，山东省交通厅所接受的信息为“山东省江湖人士不得闯黄灯”，而其分解后传出的信息为“烟台市江湖人士不得闯黄灯”，“青岛市江湖人士不得闯黄灯”，等等。此两者均作用于山东省每一名江湖人士，因此其信息量相等。而对于整个交通系统而言，每一级之间所传递的信息均作用于所有江湖人士，因而各级间传递的信息总量亦相同。这时的信息传递效率，即单位时间内各级间的信息传递量，对应于柯老邪公式中的ε。如果各级间ε不同，会造成整个系统效率低下，信息阻滞。

为保政令畅通，省市区三级交通部门积极进行机构整改，剔除冥顽不灵者，招纳顺应时势者，最终形成了交通部门的最优机构配置。在这个最优配置中，各级交通部门只知自己有上级下级，并将上一级下达的禁令如实传递给下一级，而并不知道自己位于整个系统中的哪一级。在这个各司其职的系统中，禁令的传递效率ε在每级达到一致，毫无阻滞的从武林交通部直达每个江湖人士。此时各级机构的最优配置正对应着柯老邪描述涡结构动能在不同尺度上分布的2/3律，即s₂～l^2/3。

此例中的描述，或有牵强之处，但以社会系统印证柯老邪的k41理论，却也无伤大雅。

而令人咋舌的是，在k41理论问世之前的一些艺术作品中，也有着2/3律的影子。其中最有名的当属1889年文森特·梵高（vincent van gogh）在其精神错乱期间留下的旷世名作“星夜”（the starry night）。画中的光影星云结构被认为是湍流涡结构很好的诠释。最近的研究则有着更为惊人的发现：如果将画中每一像素点的亮度看作是湍流场中速度大小的话，由此画所计算出的结构函数与柯老邪的2/3律有着近乎完美的相符。

这一惊人的巧合，究竟仅是过分解读，还是意味着人类精神失控时思维之湍流与自然界之湍流有着内在的联系，笔者也难以断言。这个谜题或许要留待后世来解开了。

►文森特·梵高的“星夜”（1889）

如果说柯老邪的概率论是集大成之作，其k41理论则可称得上湍流结构理论之滥觞。涓涓细流，终成巨澜滔滔。

在后世的湍流研究中，对于k41理论应用所取得的硕果璀璨绚丽，许多看似无从下手的问题由于k41理论的引入迎刃而解。柯老邪的莫斯科学派也从1946年开始组织两周一次的研讨会，精研k41理论在具体湍流体系中的运用。从这里走出的柯老邪在湍流界的四大弟子，亚历山大·奥布霍夫（alexander obukhov），米哈伊尔·米林斯奇科夫（mikhail millionshchikov），安德雷·莫宁（andrei monin）与阿奇瓦·亚格洛姆（akiva yaglom）将于日后在各自的领域内独领风骚。其中的奥布霍夫与莫宁分别接管和领导了苏联在大气湍流与海洋湍流上的研究。欣喜之余，柯老邪豪言道：“我的一名弟子统御地球大气，而另一名弟子管辖四方海域。”（one of my students rules the earth atmosphere, another – the oceans.）

天下武功纷繁庞杂，而以内御外方为修行之正途。k41理论正如湍流界的九阴真经，它从内在上试探着湍流的根基，撩拨着湍流的心弦。如果说时至今日的湍流结构研究已渐成一座大厦，那么k41理论正是这座大厦的地基。尽管它之后还将经历一番波折，但它必定永载史册，千年不朽。

欲知后事如何，且听下回分解。

本文首发于《mit科研范》，《知识分子》获得作者授权刊发，内容略有修订。