素数之恋
一个数学问题一旦与素数发生联系，就会变得深刻，难度也骤然增大。
撰文 | 蔡天新
1985年春天，我开始攻读博士学位。那时国内尚没有直接攻博，或硕博连读一说，所以我们是经过考试的。原本，硕士学位需要三年才能拿到，但我和王炜因为论文完成得早，且都已经发表了（那时还没有sci一说，我们的论文都是在国内一级刊物发表的），因此得以提前半年毕业。换句话说，我们赶上了77级那帮同学。
说到山大数学系77级，我认识的人不多，其中有考入北大的张继平，他后来得过陈省身数学奖，做过北大数学学院院长；考入浙大的薛安克，他曾多年担任杭州电子科技大学校长。在山大读研的，有从浙师大考来的黄岩老乡潘兴斌，现在是华师大紫江学者。还有一些留学海外并做了教授，我在北美的旅途中就见到过好几位。
说到山大77级，我还知道有两位同学后来分别当选中国科学院和工程院的院士，他们是化学系江桂斌和物理系李卫。2016年，李卫作为校友代表回母校参加毕业典礼，演讲时提及他就读的磁学专业老师郭贻诚教授，我在校时就听说过他。郭先生是加州理工学院博士，导师是诺贝尔物理学奖得主c.d.安德森[1]，1939年回国后曾任教浙江大学龙泉校区。现在想起来，郭先生可能是山大教授里“出身”最高贵的。
读博第一学期我曾两次去北京出差，算起来分别是我第四次和第五次进京。第一次是大二暑假去北京姑姑家探亲，第二次是研二寒假去大西北时路过，第三次是1984年冬天，我和王炜去北京中关村数学研究所查阅资料。那时候没有电脑或互联网，所有文献都是纸质杂志和书籍，数学所的资料比起山大来更为齐全，因此博士生通常都会去北京，那时候七小时的火车已经算很方便了。
说实话，我对绝大多数复印的资料不太记得了。印象最深的是数学所资料室的工作人员，她们非常喜欢聊天。一旦进入资料室，不管你是否愿意，京腔都会飘入耳朵。聊天的内容当然与数学无关，而是日常琐事和趣闻，比如某某研究生的恋爱对象，或某某数学家的个人爱好。我后来猜测，由于数学所女性比例极低，她们不自觉地产生一种优越感，以为凡是男性都愿意听她们说话。久而久之，聊天就成为她们对男性的一种精神抚慰。
第四次进京是在五一前夕，我停留了一个星期，搭乘的是夜班火车，所谓夕发朝至，平生头一回乘坐了卧铺（硬卧）。出差的事由也与数学无关，而是去参加“首都部分高校大型社会观念变革学术讨论会”。这个会议的出发点是，随着我国经济体制改革日益深入的发展，整个社会生活领域中的某些传统的旧观念旧模式受到了有力挑战，并已开始发生具有划时代意义的变革，如何深入理解和认识这场变革，分析它的现状和发展趋势，是当时理论界的重大课题。
虽然我本科和硕士阶段没有当过学生干部，读博以后却做上了学校研究生会学习部副部长，与我同行的孟祥生同学是宣传部长。他原是历史系七七级，毕业后去了外交部，现任钓鱼台国宾馆管理局副局长。而我之所以当上部长，主要原因恐怕在于，全校研究生住在一个楼里，我与文理科的同学都比较熟悉。
那次讨论会的具体细节我已记不清，甚至举办地是北师大还是人大我也无法确定了。只记得与会人数约三十位，围坐在一张宽两米、长十米左右的大桌子（也可能是好几张桌子拼成）周边。参会者除了首都高校的学生代表以外，还有南开、吉大等外地来的同学。我对面刚好是会议邀请来的主要嘉宾、哈佛大学教授杜维明。这一点不容怀疑，因为那是我第一次面对哈佛教授，我还记得我与杜先生就某个问题发生激辩。这一点也帮助我推测那次会议是在北师大，因我查到，杜教授80年代曾在那里访学。
杜维明教授，新近担任北京世界哲学大会学术委员会主席（图片由作者提供）
杜维明先生祖籍广东海南，1940年出生于昆明，五岁随家人迁入上海并入小学。四年以后随家人移居台北，1957年考入台中东海大学外文系，一年后转中文系。毕业后服兵役一年，随后赴美留学，1968年获得哈佛大学博士学位后，先是在普林斯顿和伯克利任教，1981年回母校哈佛，曾两度担任东亚语言和文明系主任。
那会儿杜维明先生四十五岁，年富力强。他早年研究宋、明儒学，后来探究儒学思想的现代意义和发展前景，借鉴了哲学人类学、文化人类学、比较文化学、比较宗教学和知识社会学等跨学科的研究方法，被认为是新儒家学派的代表人物，但他自己却喜欢被称作哲学家、思想家，还强调儒家对“新”字有警惕性，一定要算的话也是儒家第三期。
杜先生认为，儒学第一期是从先秦到汉，从曲阜时代或中原时代的孔孟之道开始，到独尊儒学。第二期是朱熹复兴儒学，使得儒学文化圈从中国扩大到东亚，包括越南、朝鲜和日本。第三期是现在，从亚洲走向世界，儒学需要用英、法、德语等文字传播。这个划分似有道理，不过李泽厚先生认为汉朝需单独划分，所以应是四期。
我个人担心的是，杜先生近年来在中国大陆兼职和头衔过多，分散了精力。例如，北大人文高等研究院院长、长江商学院人文委员会主席、浙大马一浮人文研究中心主任，不一而足。当然，这与大陆高校对自己培养的人才信心不足、信任度有限不无关系。不过，当我看到他说过的一句话，“历史可以使我们成为有记忆的人”，印象又大为改观。
恰同学少年
不到一个月，我又一次进京，这回仍与王炜同行。6月4日，我们乘坐13次沪京特快，比普通快车缩短两小时。这次是去中科院听哥伦比亚大学哥德费尔德教授讲学，他是德国人，1967年获得哥伦比亚大学博士学位，在辗转了伯克利、特拉维夫、普林斯顿、麻省理工、德克萨斯和哈佛等校以后，回母校任教授。哥德费尔德后来曾获柯尔奖，那次主要介绍布朗-梯其马希筛法[2]。我们在北京停留了十天，第八天从日本传来噩耗，华罗庚先生在东京大学讲学时，因为心脏病突发猝亡，这对我们每个人都是极大的震动。
美国数学家哥德费尔德（图片由作者提供）
那次除了我和王炜，还有北大潘承彪师叔的三位弟子贾朝华、张益唐和罗文智，数学所王元先生的学生张寿武。说到朝华，他后来与我交往甚密，尤其是他任《中国数学会通讯》常务副主编期间，频频催稿，并亲自润色，促成我笔下的数学人物一个个诞生，才有了《数学传奇》这本书。再后来，他与我同为《数学文化》杂志编委，每年夏天见面，来往交流就更多了，他对老北京、围棋、美食颇有研究。朝华的微信名为京城潮叔，作为曾经的全国青联委员，偶尔会与我们分享歌唱家彭丽媛委员的点滴轶事。
朝华出生在上海，小时候因为父母分别在南京和北京工作（父亲在解放军通讯工程学院任系主任），他由上海的外婆和宁波鄞县的太外婆轮流抚养。十一岁才被母亲领回家，从此住在北京。七七年他上了北京邮电学院，毕业后考入北大读研，成为潘师叔的大弟子。博士毕业后他又到数学所跟王元做博士后，留所至今。朝华曾在小区间的素数分布等多个经典问题上取得世界领先的成果，与英国大数论学家希斯-布朗合作，在德国《纯粹数学与应用数学》和英国《伦敦数学会会刊》等名刊发表论文。
罗文智与朝华同年同月生，两人生日只差八天。他是南京人，本科毕业于中山大学，后来在北京联合大学工作过一年，再考入北大读研。文智和益唐都只跟潘老师读完硕士便出国留学了，两人先后获得鲁特格斯大学和普渡大学的博士学位。文智的学业无疑更顺利一些，他的博士导师是名教授伊万尼奇，后来又到普林斯顿跟萨那克做博士后，研究自守形式的解析和算术性质。文智较早在《数学年刊》等顶尖刊物发表论文，因此顺利找到俄亥俄州立大学的终身教职，并担任《数论杂志》编委。
这几位同辈同行中，唯有张益唐与我是第二次谋面，头年夏天我们一起在合肥科大开会，又一起去爬了黄山。虽然如此，我们之间似乎仍不太熟悉，仍只是点点头而已。待我年长以后，我明白那与他的个性有关，但那时我尚缺少阅历，理解不到那一层。益唐比朝华大五岁，也是在上海出生。他是北大七八级的，可能是“文革”北大冲击太深（自杀的数学老师就有好几位），北大数学系七七级没有招生，这让复旦、科大等学校沾了光。
多年以后，当誉满全球的张益唐回到中国，也曾携夫人做客浙大。我们曾数度畅饮，我还陪他们去梅家坞品茗。后来我出访洛杉矶，也曾与学生专程驱车前往他任教的圣塔巴巴拉，因此有了更多了解。张益唐的母亲姓唐，这是他名字的来源，十五岁时他随母亲下放到湖北东南的阳新县，在长江边的“五七”干校生活了几年，后来回京通过招工进入北京锁厂工作。高考恢复以后，他考了两次才入北大……
相比之下，张寿武我最不熟悉，他的经历我近年才从媒体上得知，还有他的几位年轻有为的弟子。张寿武比我年长一岁，安徽和县人，确切地说，是县城西郊的西埠镇五星村人。和县属马鞍山市，该市面积只有四千平方公里，却被长江分为两半。江右是市区和当涂县，我曾在马鞍山诗人杨健陪同下去那参拜过李白墓。和县在江左，北宋的“清官”包拯继和南宋大数学家秦九韶曾出任和州知州，还出过书法家林散之和中国第一个奥运冠军许海峰。
如同《泉城》和《扬州》两篇所写，和县乌江镇曾是西楚霸王项羽自刎之地；一千年以后，唐代诗人刘禹锡在此为官时写下著名的《陋室铭》；又过了三百年，宋代女词人李清照乘船路过，留下名诗《夏日绝句》，“生当作人杰，死亦为鬼雄。至今思项羽，不肯过江东。”原来，长江流经此地时，基本是垂直的南北向了。
1980年，张寿武从和县一中毕业，考入中山大学化学系，后谎称色盲才转入数学系，三年后即毕业并考取中科院数学所研究生，师从王元。那段时间张寿武发现王元擅长的解析数论他并不得心应手，因此看了同调代数、l函数、自守函数、代数几何等方面的书籍，哥德费尔德来讲学时他坐第一排听课，擦黑板最认真，不讲课时他奉元老之命陪同客人游玩京城。
后来，张寿武在托福考试成绩不够理想的情况下，仍获得哥伦比亚大学的全额奖学金去了美国。他在来访的法国数学家斯匹若指导下获得博士学位，后又去普林斯顿跟菲尔兹奖得主法尔廷斯做博士后，现任普林斯顿大学教授。再次见到张寿武已是二十二年以后，在杭州举办的华人数学家大会上，浙大校友励建书教授特意介绍，我们相互致意问候。又过了十一年，张寿武教授来浙大讲学，我们连续相处了十个小时，此乃后话。
2018年夏天，张寿武教授做客浙江大学。（图片由作者提供）
素数问题
1998年，张寿武独立证明了波戈莫洛夫猜想，并应邀在柏林国际数学家大会上作四十五分钟特邀报告，2011年当选美国艺术和科学学院院士。他的研究方向是算术代数几何，这是代数几何的一个分支，是指所有以数论为背景或目的的代数几何。顾名思义，代数几何是将代数与几何结合起来的数学分支。这是典型的边缘学科，需要许多领域的知识，包括数论、模形式、表示论、代数几何、李群、多复变函数、黎曼曲面、k理论，等等。
丢番图方程是算术代数几何的重要课题，这是它的生命力所在。写到这里，读者可能想起前面提及的新儒家杜维明先生的研究方法，也是以跨领域见长，这对于在国内受教育的人来说是个挑战。上个世纪后期，随着莫德尔猜想、费尔马大定理等丢番图方程问题先后被攻克（每一个都轰动一时，尤其是后者，被誉为20世纪的数学成就），算术代数几何和代数数论风靡一时。
相比之下，解析数论已经沉寂多年。所谓解析数论是数论中以分析方法作为研究工具的一个分支，是在初等数论方法无法解决的情况下发展起来的，可以追溯到18世纪的欧拉时代，最典型的问题是孪生素数猜想、哥德巴赫猜想和黎曼猜想。这方面自从1966年陈景润有关哥德巴赫猜想的研究成果宣布以来，就再也没有激动人心的突破了。
上述五个问题中，除了莫德尔猜想[3]，均与素数直接有关，它们也是数学史上最有名的猜想和问题。所谓素数或质数是指这样的正整数，除了1和自身以外，没有别的正整数可以整除它们。可以这么说，一个数学问题一旦与素数发生联系，就会变得深刻，难度也骤然增大。最小的十个素数是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，其中3和5、5和7、11和13、17和19只相差2，被称为孪生素数。著名的孪生素数猜想说的是，存在无穷多对孪生素数。
显而易见，除了2是偶数以外，其余素数均为奇数。哥德巴赫猜想也与素数有关，是指每个大于4的偶数均可表示成两个奇素数之和，例如6=3 3，8=3 5，10=3 7=5 5。费尔马大定理的等价形式是，对任意奇素数p，不存在正整数x，y，z，使得其中两个的p次幂之和等于第三个的p次幂。而黎曼猜想（被认为数学史上最伟大的猜想）是关于黎曼zeta函数的零点分布的，这个函数本身的定义就与素数有关。
2013年5月，在数论圈“消失”二十多年以后，张益唐惊艳亮相[4]，他用精细而耐心的解析方法证明了：存在无穷多对素数，它们之间的距离不超过七千万。假如把七千万缩小到2，便是孪生素数猜想。这个结果轰动了数学界，加上他的个人经历和励志故事，很快就被西方主流媒体报道，同时获得了诸如柯尔奖、麦克阿瑟天才奖、求是杰出科学家奖等奖项。接下来的一年多时间里，经全世界同行通力合作，七千万这个数字迅速下降，变成了246。可是，四年过去了，这个数字却没有再被改进。倒是让我想起，中国古典数学名著《九章算术》恰好也含有246个问题。
2016年春天，作者与张益唐教授在加利福尼亚海滨。（李海琴摄）
值得一提的是，除了以上几个问题和猜想以外，还有一个大名鼎鼎的abc猜想也与素数有关，它诞生于1985年，即哥德费尔德访华的那一年。由不太出名的法国数学家奥斯达利和英国数学家马瑟各自独立提出，不过那时候以及后来相当长的时间里，我们都没有听说过。现在大家都知道，假如abc猜想成立，那么包括费尔马大定理在内的四项菲尔兹奖成果以及费尔马大定理现有的两个著名推广均可以轻松推出，其难度相当于小学奥数题。
假设a，b，c都是正整数，满足a b=c，rad(abc)表示abc的不同素数因子的乘积，则abc猜想的弱形式是：c不超过rad(abc)的平方。例如，1 8=9，则c=9，rad(abc)=6，9小于6的平方36。事实上，当a和b不超过50时，2500对组合中除了{1,8,9}，{5,27,32}，{1,48,49}和{32,49,81}这4组以外，其余数组中的c均不超过rad(abc)。尽管如此简明和重要，数学家们仍无法证明这个猜想。
2012年夏天，曾成功证明半几何领域的格罗滕迪克猜想的日本数学家、京都大学教授、法尔廷斯的学生望月新一在互联网上发布了abc猜想的证明，一时间吸引了全世界同行和媒体的关注，包括华裔数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩在内的大家均给予正面评价。遗憾的是，虽然无人发现漏洞，却有相当一部分内容无人看懂。2018年初，经过反复修改补充以后，望月新一正式发表了他的证明，再次轰动了世界。至于能否被数学界接纳，还有待时间的检验。
相比以上提及的中外同行，作者深感惭愧。因为所受教育和知识的局限，更由于自身才智和努力不够，既没有进入那些最新的研究领域，也没有在经典问题上有所贡献。万幸的是，在所谓数学研究的黄金年龄以后，过去六年多来，我受abc猜想的形式启发，把整数的加法和乘法结合起来，提出一些新的想法，并借此对那几个经典数论问题做了诠释和拓广，也包括前文未曾提及的完美数问题、华林问题、朗道猜想、埃及分数，等等。
这其中，华林问题的历史较短，但也将近两个半世纪了。我们提出的新华林问题的一个特例说的是：除了2、5和11，每个素数均可表示成三个正整数的和，它们的乘积是一个立方数。例如，3=1 1 1，而1•1•1=1为1的立方；7=1 2 4,而1•2•4=8为2的立方，……结论比老华林问题简洁、漂亮，难度恐怕是同等的。我们已经验证了，此论断对10000以内的素数成立，但却无法给予证明。
这些问题收录在我与几位学生合写的论文里，已陆续在数论专业名刊亮相，同时也出现在我的中、英文版著作《数之书》中。其中新华林问题的研究获得剑桥大学教授、菲尔兹奖得主贝克的表扬，作为华林问题专家的他赞其为对此问题“真正原创性的贡献”；平方完美数的结果发表第二年即成为《国际数论杂志》史上读者最多的一篇论文，而我提出的那类丢番图方程也被罗马尼亚裔德国数学家米哈伊内斯库教授赞为“阴阳方程”。
米哈伊内斯库教授是历史悠久的卡塔兰猜想（8和9是唯一一对相邻的方幂数）的证明者，他也因此受聘于“数学王子”高斯终生任教的哥廷根大学。在他于2014年为《欧洲数学会通讯》撰写的有关abc猜想的综述文章里，专节对我提出的问题予以描述并举例证。认定即便abc猜想成立，我们有关费尔马大定理的广义猜想依然是坚挺的。
我一直希望，我们不总是跟在别人后头做研究。米哈伊内斯库在给我的信中指出，“未来这些问题的重要性如何，要看你的运气了”。换句话说，取决于谁对她们感兴趣了。2017年，他曾两次访问中国，也两次来到杭州。之前，我也曾两次应他的邀请访问哥廷根大学。最近，米哈伊内斯库教授又邀请并推荐我一同访问他的祖国——罗马尼亚科学院。
注释
[1] c.d.安德森（1905-1991）与前文里提及的科大少年班谢彦波的博士导师p.w.安德森（1923-）并无亲戚关系，前者因发现正电子于1936年获得诺贝尔物理学奖，后者与丁肇中一起因在发现新的重基本粒子方面的开创性工作获得1976年诺贝尔物理学奖。
[2] 筛法是解析数论的重要工具，肇始于古希腊的全才厄拉托色尼。布朗是挪威数学家，梯其玛希是英国数学家、牛津大学教授，北大教授闵嗣鹤在他指导下获得博士学位，潘师承洞又是闵先生的学生。
[3] 莫代尔猜测是说，有理数域上亏格大于 1的曲线至多有有限个有理点。1983年，此猜想被在名不见经传的德国乌珀塔尔大学任教的法尔廷斯证明，随后他被聘请到普林斯顿，并获得1986年菲尔兹奖。
[4] 张益唐在美国念的是代数数论，博士导师是台湾人莫宗坚。他的博士论文证明了雅可比猜想，后来发现依赖的一个引理有误。孪生素数猜想的突破性进展，让他在解析数论领域杀了一个漂亮的回马枪。
文章头图及封面图片来源： kevin dooley flickr (cc by 2.0)
本文原载《南方周末》2018年8月9日，系蔡天新教授大学回忆录《我的大学》（商务印书馆，2018年6月）之第二十三章
赛先生
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